WIE SIEHT DER ZUFALL AUS?
Random Walk geht dieser Frage nach und präsentiert Experimente aus Mathematik und Physik, die das rätselhafte Zusammenspiel von Chaos und Ordnung im Zufall zeigen.
In Random Walk wird der Zufall in leicht verständlichen Visualisierungen real simuliert und gibt einen Einblick in das Wirken eines bis heute ungeklärten Phänomens.
 
 
»Die Verteilung der Primzahlen«
Random Walk Plakat in DIN A1 für nur 6€!


Das beliebteste Plakat „Die Verteilung der Primzahlen“ aus dem Projekt „Random Walk – Die Visualisierung des Zufalls“ gibt es jetzt in Auflage für nur 6€ (inkl. MwSt., zzgl. Versand).

Ordnung und Chaos in der Verteilung der Primzahlen im Zahlenbereich von 0 – 1.000.000

» Verfügbares Motiv: „Die Verteilung der Primzahlen“
» DIN A1 (59,4cm x 84,1cm)
» Offsetdruck auf 135g/m² Bilderdruckpapier glänzend
» Texte in Deutsch und Englisch.
» Konzeption und Gestaltung: Daniel A. Becker

Preis: 6,00
inkl. MwSt., zzgl. Versand

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Der besondere Reiz am Thema Zufall ist die Tatsache, dass seine Existenz bisher weder bewiesen, noch widerlegt werden konnte – auch wenn er in Wissenschaft und Alltag immer wieder auftritt, bleibt er doch ein schattenhafter Begleiter von vielen Vorgängen. Random Walk richtet sich an alle, die sich mit dem mystischen Begriff des Zufalls auseinandersetzen möchten.In zehn Visualisierungen werden Vorgänge in Mathematik und Physik gezeigt, die die Frage nach dem Zufall aufwerfen sollen. In den dargestellten Modellen verschmelzen immer wieder zwei große Gegensätze zu einem Bild, das unserem Begriff vom Zufall entspricht: Chaos und Ordnung. Dabei sind die Visualisierungen nicht einfach illustriert, sondern das Ergebnis realer Simulationen und sind somit gleichzeitig ein Beweis für das Vorhandensein dieser Symbiose.

Die Diplomarbeit entstand im SS 2009 an der FH Mainz, bei Prof. Johannes Bergerhausen.

  Die Arbeit besteht aus 14 doppelseitigen Bögen in DIN A2 in einer transparenten Folientasche.
Sie besteht aus Visualisierungsseiten und Erklärungsseiten. Zehn Bögen behandeln zehn Zufallsphänomene, vier Bögen beschäftigen sich allgemein mit dem Zufall und der Qualität von computergenerierten Zufallszahlen. Es gibt kein Titelblatt und keine Bogenreihenfolge – jeder Bogen funktioniert als Titel. Wie in einem Kartenspiel liegen die Bögen in einer zufälligen Reihenfolge in der Tasche. Die Gestaltung der Erklärungsseiten wurde vom Zufall bestimmt, jede dieser Seiten ist einzigartig im Layout, wobei sich gleiche Seiten in den Ausgaben ebenfalls unterscheiden.

Visualisierungen und Zufallslayouts wurden mit Processing realisiert.

Idee, Konzept und Umsetzung: Daniel A. Becker
 
 Wikipedia: Zufall        
Alle grafischen Darstellungen der mathematisch-physikalischen Phänomene sind keine Nachbildungen, sondern sie wurden real simuliert. Mithilfe von Processing wurde eine Umgebung geschaffen, die das Spiel von Chaos und Ordnung, das im bloßen Datenmaterial ruht, zum Vorschein bringt. Würden diese Phänomene nicht in den Zahlen stecken, würden die Visualisierung auch aussagelos.        
Die Konstante Pi hat unendlich viele Nachkommastellen, wobei es keine bestimmte Reihenfolge in der Ziffernfolge gibt. Dennoch ist die Häufigkeit jeder Ziffern von 0 bis 9 – zumindest in diesem dargestellten Bereich bis 1.000.000 Stellen von Pi - recht ausgewogen. Für die Ziffern von 0 bis 9 werden Richtungen von 0° bis 360° festgelegt. Erscheint die 0, wird beispielsweise ein Strich mit der Gradzahl 0° gezeichnet. Am Ende des Striches beginnt wiederum der nächste Strich. Die Länge des Striches ist dabei bei jeder Ziffer gleich. Auf diese Weise entsteht ein Pfad, der sogenannte „Random Walk“.

  Die farbigen Flächen beziehen sich auf Abschnitte der Zahl Pi, die pro Schritt von 0 beginnend um jeweils 10.000 zunehmen. Diese Flächen legen sich um die äußeren Punkte des Random Walk. Man kann erkennen, dass mit zunehmender Größe immer rundere Formen entstehen. Die Häufigkeit der Ziffern von 0 bis 9 wird immer ausgewogener, je größer der betrachtete Zahlenbereich wird.
 
 Wikipedia: Kreiszahl        
 
Lässt man auf eine hingelegte Dartscheibe mit gleichgroßen Feldern Reiskörner rieseln und zählt anschließend, wie viele Körner jeweils auf den einzelnen Feldern liegen, stellt man nach einigen Wiederholungen eine gewisse Regelmäßigkeit in der Größe der Reiskornhaufen auf den Feldern fest. Diese Regelmäßigkeiten werden durch die sogenannte „Poisson-Verteilung“ beschrieben. Mit ihrer Hilfe kann man die Wahrscheinlichkeit berechnen, auf wie vielen Feldern eine bestimmte Anzahl von Körnern liegen wird. Welches konkrete Feld eine bestimmte Menge an Körnern aufweisen wird, ist selbstverständlich nicht vorhersagbar.   Die Felder der Dartscheibe in der Mitte der Visualisierungen haben alle dieselbe Flächengröße. Darauf fallen zufällig Punkte, und es wird gezählt, wie viele Treffer auf jedes einzelne Feld gefallen sind. Diese Treffermengen werden durch die farbigen Blätter angezeigt. Je größer das Blatt, desto mehr Felder gab es beispielsweise, die die Treffermenge Eins aufweisen. Die Anzahl der Blätter zeigt die Anzahl der Treffermengen. Die graue Linie zeigt die errechnete Annahme nach der Poisson-Formel. Natürlich kommen Blätter und Linie nie ganz zur Deckung, da die Menge an Zufallspunkten sehr klein ist, aber man kann erkennen, dass die Simulation der Poisson'schen Annahme folgt.  
 Wikipedia: Poisson-Verteilung        
 
Bekanntermaßen unterliegen auch physikalische Experimente mathematischen Wahrscheinlichkeiten. Beim Galton- oder Nagelbrett-Experiment kommt die sogenannte Normalverteilung zum Tragen. Eine schräg stehende Fläche ist in regelmäßigen Abständen mit versetzten Nägeln versehen. Man lässt nun eine Kugel zwischen den obersten beiden Nägeln starten. Die Kugel prallt auf dem Weg nach unten immer wieder auf einen Nagel und wird dadurch nach links oder rechts abgelenkt, bis sie das Brett verlässt.   Da das Abbiegen chaotisch, also nach dem Zufall verläuft, kann man von der einzelnen Kugel nicht vorhersagen, welchen Weg sie nehmen wird, allerdings lässt sich annähern, wie viele Kugeln an welchen Stellen des Brettes ihren Weg suchen und wie viele Kugeln das Brett an bestimmten Stellen verlassen werden. Dicke Bereiche in der Visualisierung zeigen an, dass einige Teilstücke des Brettes häufiger genutzt wurden: Hauptsächlich der gerade Weg nach unten.  
 Wikipedia: Galtonbrett        
 
Eine Primzahl ist eine ganze Zahl größer als 1, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Im Zahlenbereich von 0 bis 1.000.000 gibt es 78.498 Primzahlen. Ihre Verteilung im Zahlenstrang ist dabei völlig chaotisch – man kann nicht voraussagen, wann eine Primzahl kommen wird, man muss jede Zahl konkret überprüfen. Dennoch nimmt die Dichte ihres Auftretens in höheren Zahlenbereichen immer weiter ab. Gibt es im Bereich 1 bis 1.000 noch 168, sind es zwischen 999.000 und 1.000.000 nur noch 53.
  In der Visualisierung werden Gruppen von jeweils 400 Zahlen gebildet und als Linie dargestellt. Je mehr Primzahlen sich in diesen Gruppen befinden, umso weiter wächst die Linie in die Mitte. Wie man erkennt, gibt es im Detail keine Regelmäßigkeit der Linienlängen – die Anzahl der Primzahlen in den einzelnen Gruppen ist chaotisch verteilt, dennoch bildet sich auf lange Sicht eine Spirale, die auf das Abnehmen der Primzahldichte schließen lässt, je höher der betrachtete Zahlenbereich wird.  
 Wikipedia: Primzahl        
 
Bestimmte Datensätze, deren Werte nicht durch bewusste Manipulation bestimmt wurden, wie beispielsweise die Flächengrößen der Länder der Erde, haben eine interessante Eigenschaft. Betrachtet man nur die erste Ziffer der Flächengrößen, stellt man fest, dass die Häufigkeiten der Ziffern von 1 bis 9 in einem Verhältnis zueinander stehen, die auch bei völlig anderen Datensätzen wie beispielsweise DAX -Werten anzutreffen ist. Dieses Phänomen wird das „Benfordsche Gesetz“, bzw. das „Gesetz der ersten Ziffer“ genannt. Obwohl die Daten im einzelnen nicht bewusst beeinflusst wurden, unterliegen sie dennoch dieser Regelmäßigkeit. Sind sie hingegen manipuliert worden, kann man dies anhand des Gesetzes in einem gewissen Rahmen erkennen.

  Alphabetisch sind hier alle Länder der Erde mit ihren Flächengrößen aufgelistet. Von diesen wird dabei nur die erste Ziffer berücksichtigt. Diese Ziffern sind mit Linien verbunden, die zu ihren Gruppen laufen. Die Gruppen wachsen mit der Anzahl ihrer Ziffern. Darüber hinaus wird der prozentuale Anteil einer Ziffer an der Gesamtmenge der Ziffern gezeigt. Daneben stehen in den Halbkreisen die erwarteten prozentualen Anteile nach dem Benfordschen Gesetz. Man sieht, wie gut dieses Gesetz schon bei diesem relativ kleinen Datensatz zum Tragen kommt.  
 Wikipedia: Benfordsches Gesetz        
 
Die Flächengröße von Grundformen wie Rechteck, Kreis oder Dreieck lassen sich durch festgelegte Formeln einfach berechnen. Doch wie würde man die Fläche eines Farbkleckses bestimmen? Eine Möglichkeit wäre es, die chaotische Form in möglichst viele kleine Rechtecke aufzuteilen und die Summe dieser Flächen zu ermitteln. Eine wesentlich einfachere Herangehensweise bietet die „Monte-Carlo-Methode“, benannt nach dem Zufallsprinzip in einem Spielcasino.
  In einem Kreis in der Mitte liegen zwei Formen, deren Größen ermittelt werden sollen. Dazu werden Zufallspunkte auf diese Formen geworfen, denn man geht davon aus, dass der Zufall die Punkte gleichverteilt setzen wird. Je nachdem, welche der beiden Formen getroffen wurde, färbt sich der Punkt ein, und eine Linie läuft von ihm zum Rand der entsprechenden Farbe. Anhand des Verhältnisses der beiden Punktemengen zueinander kann man errechnen, wieviel Prozent jede Form vom Kreis einnimmt, und so ist die Bestimmung der Formgrößen durch Zufallspunkte möglich.  
 Wikipedia: Monte-Carlo-Methode        
 
Die Häufigkeit von gezogenen Lottozahlen folgt grundsätzlich dem „Gesetz der großen Zahlen“. Sofern jede der 49 Kugeln in der Lostrommel die gleiche Chance hat, gezogen zu werden, wird sich eine immer ausgewogenere Häufigkeit einstellen, je länger man die Ziehung wiederholt. Die Kugel mit der Eins wird irgendwann fast so häufig gezogen worden sein wie die 49, da ja alle Kugeln die gleiche Chance haben. Welche Kugel aber als nächstes gezogen wird, lässt sich daraus nicht folgern, selbst wenn eine Zahl scheinbar im „Rückstand“ ist.   In den blumenförmigen Grafiken sind die durchschnittlichen Ziehungshäufigkeiten der Kugeln in bestimmten Zeitintervallen kreisförmig dargestellt. Je häufiger eine Kugel gezogen wurde, umso länger wächst sein Blatt von der Mitte nach außen. Man kann links oben erkennen, dass die Blätter in einem einzigen Jahr deutlich unterschiedliche Längen aufweisen – es kamen also nicht alle Zahlen gleich oft vor. Fasst man aber nun immer mehr Jahre zusammen, gleicht sich die Ziehungshäufigkeit immer mehr aus. Unten rechts ist die durchschnittliche Ziehungshäufigkeit aller seit 1955 in den Samstagsziehungen ermittelten 19.026 Zahlen dargestellt. Diese Häufigkeiten sind bereits deutlich ausgeglichen.  
 Wikipedia: Gesetz der großen Zahlen        
 
Jedes Atom und Molekül in Gasen oder Flüssigkeiten ist einer immerwährenden Bewegung unterworfen, die durch das Anstoßen durch andere Partikel entsteht. Dieser chaotische Prozess unterliegt allerdings dem Grundsatz, dass jedes Teilchen dabei in jede Richtung gleich oft wandern wird.
  In der Visualisierung entsteht aus der Mitte heraus ein Random Walk, gleich der Bewegung eines Moleküls. Dabei wird die Häufigkeit der jeweils eingeschlagenen Richtungen betrachtet. Diese Häufigkeit wird durch die Eckpunkte des aufgespannten Netzes dargestellt. Je runder die Gesamtform des Netzes ist, umso ausgewogener ist die Richtungsverteilung des Moleküls. Zum Vergleich stellt die kreisförmige Linie die absolut ausgewogene Verteilung dar. Man kann zusätzlich wieder das Gesetz der großen Zahlen erkennen. Je länger der Weg des Teilchens wird, umso ausgewogener wird das Netzgebilde.  
 Wikipedia: Brownsche Bewegung        
 
Die Atome eines Stoffes zerfallen mit der Zeit. Dieses Phänomen ist als Zerfall bekannt. Man kann deterministisch den Zeitpunkt voraussagen, wann die Hälfte der Atommenge eines Stoffes zerfallen sein wird (der Stoff ist dabei nicht verschwunden, sondern in einen anderen Stoff umgewandelt worden). Diesen Vorgang nennt man Halbwertszeit. Allerdings ist nicht klärbar, wann sich das einzelne Atom dazu entscheidet zu zerfallen. Es kann sich in der nächsten Millisekunde umwandeln, oder – wie beim Uran - erst in mehreren Milliarden Jahren.
  Der Vorgang gleicht der Halbierung eines Papiers, wobei durch den Zufall bestimmt wird, welche der beiden entstandenen Hälften als nächstes halbiert wird – dieses Prinzip liegt der Visualisierung zu Grunde, denn auch hier wird die Fläche immer wieder geteilt und die Fläche für die nächste Teilung zufällig bestimmt. Auf diese Weise nimmt die Faltung immer wieder einen anderen Weg und die neu entstandene Fläche nimmt immer um die Hälfte ab.  
 Wikipedia: Halbwertszeit        
 
Eine sehr einfache chaotische, physikalische Versuchsanordnung ist das Doppelpendel. An einer volldrehbaren Achse in der Mitte der Anordnung wird ein Gelenk angebracht, an dessen Ende sich wiederum ein volldrehbares Gelenk befindet. Versetzt man nun diese Konstruktion in Bewegung, wird man sehen, dass das Ende des zweiten Gelenks eine völlig chaotisch Bahn beschreibt.
  Diese Bahn wird hier dargestellt. In festgelegten Abständen werden Punkte auf dieser Bahn gesetzt. Betrachtet man nun, auf welcher Seite sich die Punkte befinden, erkennt man, dass in etwa ebenso viele Punkte auf der linken wie auf der rechten Seite zu finden sind, das Pendel hält sich somit ungefähr genau solange auf der linken wie auf der rechten Seite auf.  
 Wikipedia: Doppelpendel        
 
Es gibt viele mathematische Modelle, mit deren Hilfe der Computer Zufallszahlen produziert, denn den echten Zufall kann er nicht herstellen, da der Computer vollständig deterministisch funktioniert. Man spricht daher von Pseudo-Zufallszahlen. Hier sind jeweils 30.000 Zufallszahlen zwischen 0,0 und 1,0 von verschiedenen Zufallsgeneratoren produziert worden.
  Platziert man die produzierten Zufallszahlen in einem dreidimensionalen Würfel, wobei immer drei aufeinanderfolgende Zahlen als X-,Y-, und Z-Koordinate dienen, bilden sich bei der Aufsicht auf die Würfelseiten charakteristische Muster. Diese Regelmäßigkeiten weisen darauf hin, dass der Zufallsgenerator bestimmte Zahlen bevorzugt ausgibt, beziehungsweise einige nie produzieren wird. Das ist ein Indiz für einen qualitativ schlechten Generator. Der modernste unter den Zufallsgeneratoren ist der „Mersenne Twister“ aus dem Jahre 1997, der keine Musterbildung aufweist.  
 Wikipedia: Randu        
 
 

Besonderer Dank an: Anne Schnabel, Dr. rer. nat. Rudolf Schnabel und Prof. Johannes Bergerhausen
Für Anregungen und Hilfen zu meinem Projekt danke ich: Dr. Hans Schnabel, Florian Jenet, Dr. Peter Hellekalek, Martin Anderle, Achim Krebs, Björn Knauf, Michael Sonnek, Jana Mattes, Jenny Lettow, Stephan Nuber, Nadine Roßa, Franziska Noack, Dr. Markus Trahe, Nina Pree, Oliver Hudec, Carmen Hudec, Sarah Primosigh, Stefanie Becker, Johanna Becker-Jenniches, der W.B. Druckerei GmbH und dem Deutschen Wetterdienst.

 
© Daniel A. Becker 2009.
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Random Walk – Die Visualisierung des Zufalls von Daniel A. Becker steht unter einer Creative Commons Namensnennung-Keine kommerzielle Nutzung-Keine Bearbeitung 3.0 Unported Lizenz.
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